De kansen bij de Lotto
We spreken 28 februari 2025. In deze les – vrijdag voor de krokusvakantie – ging het er in 6 doorstroom wat losser aan toe en maakten we een oefening over de kans op 6 juiste cijfers bij de Lotto.
Het is duidelijk, die kans is redelijk klein, namelijk
\[\frac{1}{45 \choose 6} = \frac{1}{8\,145\,060} \]waarbij de noemer het resultaat is van een combinatie van 6 uit 45.
Daarop vroeg één van de leerlingen: “Meneer, kunnen wij eens meespelen met de Lotto?”
Aangezien mijn opvoedkundige functie erin bestaat om gokken niet aan te moedigen, zei ik dat een vroegere berekening (al 3 jaar geleden) heeft uitgewezen dat een deelname aan de lotto een gemiddeld verlies oplevert van € 0,69, is het niet aangewezen om deel te nemen.
Maar, toen bedacht ik een oefeningetje: de zes leerlingen kozen elk een cijfer en omdat de uitkomst op dat moment nog niet bepaald was, zei ik: “Goed, de opdracht: jullie gaan deze vakantie uitrekenen hoeveel kans we hadden op het resultaat dat we hiermee gaan halen.”
Een opdracht waarvan ik de uitkomst dus nog niet wist!
Uiteindelijk kwamen de leerlingen tot het formuliertje hiernaast… En dan was het wachten op de trekking van zaterdag 1 maart.
Ik heb de trekkingsvideo hieronder geplaatst. Lees verder onder de video.
Wil je zelf eerst de berekening uitproberen? Doe maar. Klik daarna het blok hieronder open om de oplossing te tonen.
Toon de oplossing.
We hadden dus 2 cijfers juist: 18 en 27.
Wat is de kans dat we 2 cijfers juist hebben? Onze noemer blijft hetzelfde: er blijven evenveel mogelijkheden om 6 cijfers uit 45 te kiezen. De teller daarentegen zal een ander resultaat geven: de combinatie van 2 uit 6 voor de 2 juiste cijfers uit onze 6 gekozen cijfers en een combinatie van 4 uit 38 voor de 4 foute cijfers. Er zijn namelijk 7 balletjes getrokken uit 45, dus blijven er 38 over die volledig fout zijn.
\[\frac{{6 \choose 2} {38 \choose 4}}{45 \choose 6} = \frac{15 \cdot 73\,815}{8\,145\,060} = \frac{1\,107\,225}{8\,145\,060} = \frac{10\,545}{77\,572} \approx 13.6\ \%\]Voor de TTRPG-fans: deze kans is net iets groter dan de kans dat je met een roll van een d6 een d20 klopt. En voor de snoepers: dat je een M&M uit een zak neemt en die is rood.
Andere vergelijkingen op https://xkcd.com/2379/:
